Задача 1

2025-06-10 06:22:28

Задача 3. Найти дифференциальное сечение рассеяния протонов с энергией \(T\) кулоновским полем первоначально покоившихся ядер в лабораторной системе отсчета.

Решение. Угол рассеяния частиц с электростатическим взаимодействием в системе центра масс как функция их прицельного расстояния \((6.8)\) позволяет получить зависимость прицельного расстояния от угла рассеяния частиц в ц-системе, подстановка которой в общее выражение для дифференциального сечения рассеяния частиц \((6.13)\) и дает нам явное выражение для дифференциального эффективного поперечного сечения рассеяния заряженных частиц в их системе центра масс. Для протона и некоторого ядра с зарядовым числом \(Z\) дифференциальное сечение получается в виде

\(d\sigma=\displaystyle\left(\frac{Ze^{2}}{4E^{c}}\right)^{2}\frac{1}{\displaystyle\sin^{4}\frac{\theta_{c}}{2}}d\Omega_{c},\)
 

где \(e\) – элементарный заряд, \(E^{c}\) – полная энергия частиц в ц-системе, \(\theta_{c}\) – угол рассеяния частиц в системе центра масс. Полная энергия частиц в системе центра масс есть суммарная кинетическая энергия частиц в этой же системе отсчета до их рассеяния. В случае первоначально покоящегося ядра в лабораторной системе отсчета \(T^{c}=T/(1+\tau)\), где \(\tau=m/M\) – отношение массы протона к массе ядра мишени.

Рассмотрим элементарный телесный угол \(d\Omega_{c}\) как телесный угол, ограниченный поверхностями прямых конусов, оси которых параллельны направлению движения частиц пучка в ц-системе до рассеяния, вершины совпадают с началом ц-системы, а углы растворов равны \(2\theta_{c}\) и \(2(\theta_{c}+d\theta_{c})\). Тогда дифференциальное сечение \(d\sigma\) представим в виде

\(d\sigma=2\pi\displaystyle\left(\frac{Ze^{2}}{2T}\right)^{2}(1+\tau)^{2}\frac{|d(\cos\theta_{c})|}{(1-\cos\theta_{c})^{2}}.\)
 

Дифференциальное сечение рассеяния протонов в лабораторной системе отсчета получим как результат подстановки \(d\sigma_{1}=\left.d\sigma(\theta_{c})\right|_{\theta_{c}(\theta_{1})}\) с последующим выделением дифференциала угла рассеяния протонов в лабораторной системе отсчета \(d\theta_{1}\) и соответственно элементарного телесного угла \(d\Omega_{1}=2\pi\sin\theta_{1}d\theta_{1}\).

Нахождение \(\cos\theta_{c}\) как функции угла \(\theta_{1}\) нетрудно осуществить с помощью импульсной диаграммы рассеяния протона ядром. Для \(\tau\leq 1\) искомая зависимость принимает вид \(\cos\theta_{c}=-\tau\sin^{2}\theta_{1}+\cos\theta_{1}\sqrt{1-\tau^{2}\sin^{2}\theta_{1}}\). Дифференцируя \(\cos\theta_{c}\) по переменной \(\theta_{1}\), немедленно получаем

\(d\sigma_{1}=\displaystyle\left(\frac{Ze^{2}}{2T}\right)^{2}\frac{(1+\tau)^{2}}{\sqrt{1-\tau^{2}\sin^{2}\theta_{1}}}\left(\frac{\tau\cos\theta_{1}+\sqrt{1-\tau^{2}\sin^{2}\theta_{1}}}{1+\tau\sin^{2}\theta_{1}-\cos\theta_{1}\sqrt{1-\tau^{2}\sin^{2}\theta_{1}}}\right)^{2}d\Omega_{1}.\)
 

В случае, если масса ядер мишени много больше массы протонов, можно принять, что дифференциальное сечение рассеяния протонов есть предельное значение \(d\sigma_{1}\) при \(\tau\rightarrow 0\):

\(d\sigma_{1}=\displaystyle\left(\frac{Ze^{2}}{4T}\right)^{2}\frac{d\Omega_{1}}{\displaystyle\sin^{4}\frac{\theta_{1}}{2}}.\)
 

Обобщая последнюю формулу на произвольные заряженные частицы (или ядра) пучка с массой, много меньшей массы рассеивателей, получаем формулу Резерфорда:

\(d\sigma_{1}=\displaystyle\left(\frac{q_{1}q_{2}}{4T}\right)^{2}\frac{d\Omega_{1}}{\displaystyle\sin^{4}\frac{\theta_{1}}{2}},\)
 

где \(q_{1}\) и \(q_{2}\) – электрические заряды падающей частицы и рассеивателя. Вывод этой формулы и ее сопоставление с экспериментом по рассеянию \(\alpha\)-частиц естественных альфа-излучателей на ядрах тяжелых элементов явились в свое время ключом к открытию структуры атома.

Ответ. Дифференциальное сечение рассеяния протонов кулоновским полем первоначально покоившихся ядер в лабораторной системе отсчета

\(d\sigma_{1}=\displaystyle\left(\frac{Ze^{2}}{2T}\right)^{2}\frac{(1+\tau)^{2}}{\sqrt{1-\tau^{2}\sin^{2}\theta_{1}}}\left(\frac{\tau\cos\theta_{1}+\sqrt{1-\tau^{2}\sin^{2}\theta_{1}}}{1+\tau\sin^{2}\theta_{1}-\cos\theta_{1}\sqrt{1-\tau^{2}\sin^{2}\theta_{1}}}\right)^{2}d\Omega_{1}, \) где \(Z\) – зарядовое число ядер мишени, \(\tau\) – отношение массы протона к массе ядра мишени, \(\theta_{1}\) – угол рассеяния протонов в лабораторной системе отсчета.