Задача 2

2025-06-10 06:29:25

Дейтрон с кинетической энергией \(T=10\) кэВ упруго рассеялся под углом \(\pi/2\) на первоначально покоящемся ядре \(^{4}\text{He}\). На какое минимальное расстояние сблизились обе частицы в процессе взаимодействия?
Ответ
Минимальное расстояние сближения дейтрона и \(\alpha\)-частицы \(r_{min}=\displaystyle\frac{e^{2}}{T}\sqrt{1+\tau}\left(\sqrt{1+\tau}+\sqrt{2}\right)=4.7\cdot10^{-11}\) см, где \(\tau\) — отношение масс дейтрона и \(\alpha\)-частицы.
// <![CDATA[ function myFunction11() { var x = document.getElementById("myDIV11"); if (x.style.display === "none") { x.style.display = "block"; } else { x.style.display = "none"; } } // ]]>
Нейтроны испытывают рассеяние на первоначально покоившихся протонах. Считая это рассеяние изотропным в ц-системе, найти с помощью векторной диаграммы импульсов: а) вероятность рассеяния нейтрона в интервале углов \((\vartheta,{\,}{\,}{\,}\vartheta+d\vartheta)\); б) долю нейтронов, рассеиваемых под углами \(\vartheta>90^{0}\); в) среднее значение угла рассеяния нейтронов в л-системе.
Ответ
а) Вероятность рассеяния нейтрона в интервале углов \((\vartheta,{\,}{\,}{\,}\vartheta+d\vartheta)\) равна \(dp=\sin2\vartheta d\vartheta\); б) доля нейтронов, рассеиваемых под углами \(\vartheta>90^{0}\), составит \(\eta=1/4\); в) среднее значение угла рассеяния нейтронов в л-системе \(<\vartheta>=\pi/4\).
// <![CDATA[ function myFunction14() { var x = document.getElementById("myDIV14"); if (x.style.display === "none") { x.style.display = "block"; } else { x.style.display = "none"; } } // ]]>
Пучок частиц с массой \(m_{1}\) и некоторой кинетической энергией рассеивается на мишени с частицами массы \(m_{2}\). Полагая, что потенциальная энергия взаимодействия частиц падающего пучка с частицами мишени зависит только от расстояния между ними, найти дифференциальные эффективные сечения рассеяния частиц в лабораторной системе отсчета.
Ответ
а) \(m_{1}\leq m_{2}\). Дифференциальное эффективное сечение рассеяния падающих частиц в лабораторной системе отсчета находим с помощью известной функции \(\theta_{c}(\theta_{1})\) как \(d\sigma_{1}=2\pi\displaystyle\left.\frac{d\sigma}{d\Omega_{c}}(\theta_{c})|d(\cos\theta_{c})|\right|_{\theta_{c}(\theta_{1})}\), где \(\displaystyle\frac{d\sigma}{d\Omega_{c}}\) – дифференциальное сечение рассеяния частиц в системе центра масс, \(\theta_{c}\), \(\theta_{1}\) – углы рассеяния частиц пучка в ц- и л- системах отсчета соответственно. В итоге имеем \(d\sigma_{1}=\displaystyle\frac{d\sigma}{d\Omega_{c}}(\theta_{c}(\theta_{1}))\frac{\left(\tau\cos\theta_{1}+\sqrt{1-\tau^{2}\sin^{2}\theta_{1}}\right)^{2}}{\sqrt{1-\tau^{2}\sin^{2}\theta_{1}}}d\Omega_{1}\), если \(\tau<1\) и \(d\sigma_{1}=\displaystyle\frac{d\sigma}{d\Omega_{c}}(2\theta_{1})\cos\theta_{1}d\Omega_{1}\), если \(\tau=1\), \(\tau=m_{1}/m_{2}\).
б) \(m_{1}\geq m_{2}\). Искомое дифференциальное сечение для падающих частиц есть \(d\sigma_{1}=\left.d\sigma(\theta_{c})\right|_{\theta_{c}^{*}(\theta_{1})}+\left.d\sigma(\theta_{c})\right|_{\theta_{c}^{**}(\theta_{1})}=2\pi\displaystyle\left.\frac{d\sigma}{d\Omega_{c}}(\theta_{c})|d(\cos\theta_{c})|\right|_{\theta_{c}^{*}(\theta_{1})}+2\pi\displaystyle\left.\frac{d\sigma}{d\Omega_{c}}(\theta_{c})|d(\cos\theta_{c})|\right|_{\theta_{c}^{**}(\theta_{1})}\), где \(\theta_{c}^{*}(\theta_{1})\) и \(\theta_{c}^{**}(\theta_{1})\) – однозначные ветви функции \(\theta_{c}(\theta_{1})\). Косинусы этих функций есть \(\cos\theta_{c}^{*}(\theta_{1})=\cos\theta_{1}\sqrt{1-\tau^{2}\sin^{2}\theta_{1}}-\tau\sin^{2}\theta_{1}\), \(\theta_{1}\in[0,\text{arcsin}1/\tau]\), \(\theta_{c}\in[0,\text{arccos}(-1/\tau)]\) и \(\cos\theta_{c}^{**}(\theta_{1})=-\cos\theta_{1}\sqrt{1-\tau^{2}\sin^{2}\theta_{1}}-\tau\sin^{2}\theta_{1}\), \(\theta_{1}\in[0,\text{arcsin}1/\tau]\), \(\theta_{c}\in[\text{arccos}(-1/\tau),\pi]\). Находя дифференциалы указанных функций по переменной \(\theta_{1}\), немедленно получаем \(d\sigma_{1}=\displaystyle\frac{d\sigma}{d\Omega_{c}}\left(\theta_{c}^{*}(\theta_{1})\right)\frac{\left(\tau\cos\theta_{1}+\sqrt{1-\tau^{2}\sin^{2}\theta_{1}}\right)^{2}}{\sqrt{1-\tau^{2}\sin^{2}\theta_{1}}}d\Omega_{1}+\displaystyle\frac{d\sigma}{d\Omega_{c}}(\theta_{c}^{**}(\theta_{1}))\frac{\left(\tau\cos\theta_{1}-\sqrt{1-\tau^{2}\sin^{2}\theta_{1}}\right)^{2}}{\sqrt{1-\tau^{2}\sin^{2}\theta_{1}}}d\Omega_{1}\).
Для частиц мишени зависимость \(\theta_{c}(\theta_{2})\) однозначна при любом соотношении масс сталкивающихся частиц: \(\theta_{c}=\pi-2\theta_{2}\), поэтому дифференциальное сечение рассеяния первоначально покоившихся частиц в лабораторной системе отсчета равно \(d\sigma_{2}=4\displaystyle\frac{d\sigma}{d\Omega_{c}}(\pi-2\theta_{2})\cos\theta_{2}d\Omega_{2}\).
// <![CDATA[ function myFunction22() { var x = document.getElementById("myDIV22"); if (x.style.display === "none") { x.style.display = "block"; } else { x.style.display = "none"; } } // ]]>
Определить дифференциальное сечение упругого рассеяния протонов на ядре \(^{197}\text{Au}\) под углом \(\theta=15^{0}\), если известно, что за сеанс облучения мишени толщиной \(7.0\) мг/см\(^{2}\) протонами с суммарным зарядом \(1.0\) мкКл на детектор площадью \(0.5\) см\(^{2}\), расположенный на расстоянии \(30\) см от мишени, попало \(2.0\cdot10^{5}\) упруго рассеянных протонов.
Ответ
\(2.7\) барн/ср.
// <![CDATA[ function myFunction33() { var x = document.getElementById("myDIV33"); if (x.style.display === "none") { x.style.display = "block"; } else { x.style.display = "none"; } } // ]]>
Протоны с энергией \(T=4.0\) МэВ испытывают резерфордовское рассеяние на серебряной пластинке толщиной \(l=4.0\) мкм. Какая часть налетающих протонов будет рассеяна на углы больше \(\vartheta=90^{0}\)?
Ответ
\(\displaystyle\frac{\Delta N}{N}=\pi n l \left(\displaystyle\frac{Ze^{2}}{2T}\right)^{2}\text{ctg}^{2}\displaystyle\frac{\vartheta}{2}=5.3\cdot10^{-5}\), \(Z\) – порядковый номер ядер серебра, \(n\) – концентрация ядер мишени.
// <![CDATA[ function myFunction39() { var x = document.getElementById("myDIV39"); if (x.style.display === "none") { x.style.display = "block"; } else { x.style.display = "none"; } } // ]]>